2.3 Transformación bidimencional

Las operaciones que se aplican a descripciones geométricas de un objeto para cambiar su posición, orientación o tamaño se llaman transformaciones geométricas.

Los objetos se definen mediante un conjunto de puntos. Las transformaciones son procedimientos para calcular nuevas posiciones de estos puntos.

Frecuentemente, se utilizan transformaciones geométricas para cambiar la posición, orientación y tamaño de objetos en un dibujo. Normalmente se aplican las transformaciones geométricas solo a los vertices y se trazan las primitivas entre los nuevos vertices en lugar de transformar todos los pixeles de la imagen.

Las operaciones básicas de transformación son:

2.3.1: Traslación:

Se puede trasladar puntos en el plano agregando la magnitud del desplazamiento correspondiente al valor de cada coordenada:

Las coordenadas (x, y) de un objeto se transforman a (x', y') de acuerdo a las fórmulas:

El par (dx, dy) se conoce como vector de traslación. 

2.3.2: Escalamiento

El escalamiento modifica el tamaño de un polígono, se puede escalar puntos en el plano multiplicando cada una de sus coordenadas por un factor de escalamiento.

Para obtener este efecto, se multiplica cada par coordenado (x, y) por un factor de escala en la dirección x y en la dirección y para obtener el par (x', y').

Las fórmulas son:

El escalamiento siempre se hace desde el origen. Por lo tanto, el objeto puede cambiar de posición con esta transformación.

2.3.3: Rotación:

La rotación gira los puntos de una figura alrededor de un punto fijo. Se puede rotar puntos en el plano a través de un angulo considerado desde el origen. 

Dado un punto P = (x; y) a un angulo  respecto al eje x, se quiere obtener sus coordenadas P'= (x';y') tras ser rotado un angulo  en el sentido contra las manecillas del reloj.

Las coordenadas de P pueden describirse mediante el angulo  y su distancia al origen r como:

De forma similar, las coordenadas de P' pueden describirse como:

Conclusiones:

A cualquier imagen o polígono le podemos modificar ciertos parámetros de tal manera que sufran una transformación bidimensional, estas no ayudan a concretar nuestros trabajos obteniendo el resultado deseado, al modificar los parámetros, los pixeles de las imágenes modifican sus posiciones, las transformaciones mas comunes son: la rotación, que nos permite girar nuestra imagen tanto como nos sea necesario, el escalonamiento, que nos permite agrandar o reducir la imagen según convenga y la traslación con la cual podemos mover libremente nuestra imagen, tal ves en la practica nos parezca muy común y sencillo, pero en realidad todo eso implica muchas operaciones matemáticas principalmente las cuales realiza la computadora.

Referencias:

http://computacion.cs.cinvestav.mx/~cynthiar/uam/graficacion/Slides/06_transforma2D.pdf

galia.fc.uaslp.mx/~medellin/gr/transformaciones.ppt‎