3.4 Lineas y superficies curvas

Los despliegues de líneas y superficies curvas tridimensionales se pueden generar a partir de un conjunto de entrada de funciones matemáticas que definen los objetos o de un conjunto de puntos de datos específicos para el usuario. Cuando las funciones se especifican, un paquete puede proyectar las ecuaciones de definición para una curva hacia el plano de despliegue y trazar las posiciones de pixel a lo largo de la trayectoria de la función. Algunos ejemplos de superficies de despliegue que se generan a partir de descripciones funcionales incluyen los cuádricos y súper cuádricos.

Interpolación lineal

Dado un conjunto de puntos se interpolan  usando rectas entre ellos.

• Sencillo.

• La curva es continua pero no sus derivadas.

• Curva local: la modificación de un punto 

afecta a dos intervalos.

Entre dos puntos se define  una línea recta.

X(t) = mx

t + bx(explícita)

X(t)-X0=m(t-t0) (pto. pendiente)

Con las condiciones

X(t=0) = X0

X(t=1) = X1

Para el primer intervalo y la primera coordenada.

Curvas de Bezier

En 1959, de Casteljau (Citroën), idea una formulación matemática para diseñar las formas curvas de los coches. 

Posteriormente (1966), Bezier (Renault) llega a las mismas conclusiones, pero partiendo de otro desarrollo matemático. 

Bezier fue el que publicó sus resultados.

Es un sistema desarrollado hacia los años setenta del siglo XX, para el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y de automóviles. Su denominación es en honor a Pierre Bézier quien ideó un método de descripción matemática de las curvas que se comenzó a utilizar con  éxito en los programas de CAD. 

Posteriormente, los inventores del PostScript, introdujeron en ese código el método de Bézier para la generación del código de las curvas y los trazados.

• Applet sencillo para generación de curvas de Bézier:
•Se definen por una serie de puntos de control.
•La curva siempre empieza en el primer punto, y termina en el último.
•Los puntos intermedios “atraen” hacia si a la curva.
•Sólo dos puntos de control (P0 y P1).
•Son líneas rectas.
•Podemos recorrer la curva con un parámetro t є [0,1] que recorre la recta de P0 a P1.

Superficies de Bézier :

Se pueden utilizar dos conjuntos de curvas de Bézier ortogonales para diseñar la superficie de un objeto al especificar un entrelazado de entrada de los puntos de control. La función del vector paramétrico para la superficie de Bézier se forma como el producto cartesiano de las funciones de combinación de Bézier 

Las superficies de Bézier tienen las mismas propiedades que las curvas de Bézier y proporcionan un método conveniente para las aplicaciones de diseño interactivo. Para cada parche de superficie, podemos seleccionar un entrelazado de puntos de control en el plano de terreno xy, así elegimos elevaciones sobre el plano de terreno para los valores de las coordenadas z de los puntos de control. De esta manera los parches se pueden unir al utilizar las restricciones de frontera.

Conclusion:

Las lineas y las superficies curvas son un elemento fundamental para la creación de las figuras en tercera dimension, así como lo es la linea simple para las figuras en 2D, estas formas tienen modelos matemáticos específicos los cuales nos ayudan a conformar nuestros gráficos, y es importante conocerlos y sabes como es que se formulan para poder aprovechar mejor sus recursos y beneficiarnos con sus usos al crear nuestras imagenes en tercera dimension.

Referencias:

• http://dac.escet.urjc.es/docencia/IG/06-CurvasSuperficies.pdf